| Lez. 1. |
Numeri Complessi. Introduzione alla forma esponenziale: richiami sulla
forma cartesiana e sulla forma trigonometrica dei Numeri Complessi. Prodotto e quoziente
come introduzione alla forma esponenziale |
| Lez. 2. |
Formula di Eulero: esponenziale complesso, potenze e radici di numeri
complessi e loro legami. Proprietà del modulo e dell'argomento |
| Lez. 3. |
Seni e coseni complessi. Logaritmi complessi: seni e coseni, circolari e
iperbolici, di numeri complessi e loro legami. Logaritmo complesso. |
| Lez. 4. |
Funzioni a valori complessi: funzioni di variabile reale a valori reali o
complessi. Funzioni periodiche, lunghezza d'onda, frequenza e frequenza angolare |
| Lez. 5. |
Analisi Armonica: armoniche elementari espresse in forma di seni e coseni
e in forma di esponenziale complesso. Energia di una armonica |
| Lez. 6. |
Polinomi di Fourier: polinomi di Fourier espressi in forma di funzioni
circolari e in forma di esponenziali complessi. Energia di un polinomio di Fourier |
| Lez. 7. |
Polinomio di Fourier di un segnale x(t): polinomio di Fourier P(t) con
coefficienti tali che sia minima l'energia della differenza tra il segnale x(t) e il
polinomio P(t) stesso. Disuguaglianza di Bessel |
| Lez. 8. |
Serie di Fourier. Convergenza nel senso dell'Energia. Identità di
Parseval |
| Lez. 9. |
Convergenza puntuale e convergenza uniforme: definizione di convergenza
puntuale e uniforme. Segnali continui a tratti. Segnali regolarizzati. Significato
dell'espressione: "Segnale con derivata prima continua a tratti". Applicazioni
alla serie di Fourier |
| Lez. 10. |
Funzioni di variabile complessa: limite del rapporto incrementale.
Integrali di linea in campo complesso |
| Lez. 11. |
Funzioni analitiche: definizione di derivata e di olomorfia. Analiticità
e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità della parte reale e della parte immaginaria di
una funzione analitica |
| Lez. 12. |
Formule integrali di Cauchy: Teorema di Cauchy. Formule integrali di
Cauchy. Esistenza delle derivate di ogni ordine per le funzioni olomorfe |
| Lez. 13. |
Serie di Laurent: serie di Taylor. Prova della formula di Eulero. Serie di
Laurent |
| Lez. 14. |
Zeri e poli del primo ordine: dallo sviluppo di Laurent, discussione delle
singolarità isolate e presentazioni equivalenti per singolarità apparenti, zeri e poli
primo ordine |
| Lez. 15. |
Poli di ordine qualunque e singolarità essenziali: a partire dallo
sviluppo di Laurent, classificazione delle singolarità isolate e loro definizioni
equivalenti |
| Lez. 16. |
Singolarità non uniformi. Singolarità non isolate. Il punto
all'infinito: sfera di Neumann e il punto all'infinito. Singolarità non uniformi e
singolarità non isolate. Singolarità all'infinito. |
| Lez. 17. |
Residui: teorema dei residui e calcolo pratico dei residui per poli del
primo ordine e di ordine superiore |
| Lez. 18. |
Integrali impropri con il metodo dei residui: integrali impropri di
funzioni razionali lungo l'asse reale. Lemma di Jordan per il calcolo di integrali
impropri lungo l'asse reale |
| Lez. 19. |
Lemma di Jordan: lemma di Jordan per il calcolo di integrali lungo cammini
paralleli all'asse immaginario |
| Lez. 20. |
Decomposizione in fratti semplici - poli semplici: decomposizione in
fratti semplici di funzioni razionali con poli semplici con il metodo dei residui |
| Lez. 21. |
Decomposizione in fratti multipli - poli multipli: decomposizione in
fratti semplici di funzioni razionali con poli multipli con il metodo dei residui |
| Lez. 22. |
Decomposizione in fratti semplici - poli complessi coniugati:
decomposizioni in fratti semplici di funzioni razionali con poli complessi coniugati con
il metodo dei residui, con una presentazione idonea in vista della antitrasformata di
Laplace |
| Lez. 23. |
Distribuzioni: presentazione delle funzioni come funzionali. Funzionali
che non provengono da funzioni, delta di Dirac. Limiti nel senso delle distribuzioni |
| Lez. 24. |
Derivate distribuzionali: definizione di derivata distribuzionale. Regole
pratiche per il calcolo grafico delle derivate distribuzionali di funzioni polinomiali a
tratti |
| Lez. 25. |
Prodotto di convoluzione: Modelli lineari, continui, invarianti per
traslazioni temporali e causali. metodo della risposta impulsiva e convoluzione.
Proprietà della convoluzione |
| Lez. 26. |
Trasformata di Fourier: Definizione per funzioni e per distribuzioni.
Antitrasformata di Fourier |
| Lez. 27. |
Proprietà della trasformata di Fourier: Proprietà di linearità,
traslazione nel tempo, traslazione in frequenza, riscaldamento, derivata nel tempo,
derivata in frequenza. |
| Lez. 28. |
Ulteriori proprietà della trasformata di Fourier: Proprietà di
simmetria, coniugazione, realtà e parità, realtà e disparità, convoluzione, prodotto |
| Lez. 29. |
Equazioni con distribuzioni. Trasformata di Fourier del gradino: equazioni
in ambito distribuzionale. Trasformata di Fourier del gradino unitario |
| Lez. 30. |
Esempi di trasformate di Fourier: esempi di trasformate di segnali lineari
a tratti, trasformate di seni e coseni |
| Lez. 31. |
Distribuzioni limitate. Distribuzioni a crescita lenta: ancora esempi di
trasformate di u(t) per un esponenziale complesso. Distribuzioni limitate e distribuzioni
temperate o a crescita lenta. Esistenza della trasformata di Fourier |
| Lez. 32. |
Treno di impulsi: treno di impulsi come esempio di distribuzione limitata
e periodica. Trasformata di Fourier del treno di impulsi |
| Lez. 33. |
Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche. Legami tra serie e
trasformata di Fourier per funzioni periodiche |
| Lez. 34. |
Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici: esempi di
trasformate di Fourier di segnali periodici, mettendo in evidenza la funzione modulante il
treno di impulsi nel dominio delle frequenze |
| Lez. 35. |
Trasformata di Laplace: definizione di trasformata di Laplace bilatera per
funzioni e distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace. Legami con la trasformata
di Fourier quando l'asse immaginario è contenuto nel dominio della trasformata di Laplace
|
| Lez. 36. |
Proprietà della trasformata di Laplace: Proprietà di linearità,
traslazione nel tempo, traslazione rispetto a s, riscaldamento, derivata nel tempo,
derivata rispetto a s, coniugazione, Hermitianeità, convoluzione |
| Lez. 37. |
Esercizi di trasformate di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace:
trasformate di Laplace di u(t) per esponenziali complessi e della gaussiana. trasformata
unilatera di Laplace e proprietà di derivazione in t |
| Lez. 38. |
Antitrasformata di Laplace: definizione di antitrasformata di Laplace.
Calcolo delle antitrasformate di funzioni razionali (eventualmente moltiplicate per
esponenziali complessi) |
| Lez. 39. |
Trasformata di Laplace di segnali periodici per t ³ 0. Teoremi del valore
finale e iniziale: Definizione di segnale periodico per t ³ 0 e sua trasformata di
Laplace. Posizione dei poli nel piano complesso di X(s) e comportamento all'infinito di
x(t). Teoremi del valore finale e iniziale |
| Lez. 40. |
Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali. Separazione
dei termini di transitorio e di regime: uso della trasformata di Laplace nei modelli
differenziali. Esempio del circuito RC con ingresso un generatore di tensione e uscita la
tensione sul condensatore. Risposta all'impulso con condizioni iniziali nulle. Risposta
forzata con condizioni iniziali nulle. Per il circuito RC passabasso esempio di risposta
alla porta. Risposta a segnali periodici per t ³ 0 e separazione di transitorio e di
regime. |
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